| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Творческая работа "Задачи на движение" IV РАЙОННАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ-ФЕСТИВАЛЬ ШКОЛЬНИКОВ «НАУКА. ТВОРЧЕСТВО. РАЗВИТИЕ»
МОУ «Первомайский центр образования имени В. Митты»
Секция математика
ТВОРЧЕСКАЯ РАБОТА
"ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ"
Авторы: ученики 9-А класса Краснов Денис и Ильин Леонид Научный руководитель учитель математики ГУСЕВА ЛЮДМИЛА ВЕНИАМИНОВНА
ПЕРВОМАЙСКОЕ - 2007 г.
ТЕЗИСЫ: • Введение неизвестных величин. • Составление уравнения (или нескольких • Решение полученных уравнений (неравенств). • Отбор решений по смыслу задачи - то есть ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ: Цель: систематизирование и обобщение задач на движение. Задачи: формировать навыки рационального решения задачи и уметь делать проверку ответа.
ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ Задачи на движение - классический тип текстовых задач. Разнообразные объекты движутся в одном или разных направлениях, в условии перечислен ряд данных, по которым требуется найти некоторую величину, например, скорость, расстояние, время, за которое это расстояние пройдено... Зачастую знания одной формулы S = vt оказывается недостаточно, необходимо провести самостоятельное исследование задачи. Решение текстовых задач обычно осуществляется в несколько этапов: 1) введение неизвестной величины; 2) составление уравнения (или нескольких уравнений) и (при необходимости) 3) решение полученных уравнений (неравенств); 4) отбор решений по смыслу задачи - то есть проверка ответа. Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научиться различать оснбвные типы задач и уметь решать простейшие из них. В связи с этим целесообразно рассмотреть типовые задачи и их решения. Немного теории При решении задач на движение принимают следующие допущения. 1. Если нет специальных оговорок, то движение считают равномерным. 2. Скорость считается величиной положительной. 3. Любой переход с одного режима движенияна новый считается происходящим мгновенно. скорость движения тела по течению считают равной (х + у), против течения — равной (х —у). Если в задачах говорится о движении плота, то полагают, что он движется со скоростью течения. 5. Если два тела одновременно начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями v, и V2, a начальное расстояние между ними равно S, то время, через которое они встретятся, равно
При вычислениях особое внимание следует уделить переводу величин в одну систему единиц. Например, если путь задан в километрах, а время в часах, то скорость должна быть приведена в километрах в час (а не в метрах в час, в километрах в секунду и т.п.). Задачи на движение по прямой Начнем с задач, в которых объекты (пешеходы, автомобили, поезда и т. п.) движутся по прямой. Сюда же включим и те задачи, в которых траектория движения значения не имеет, важно лишь направление движения по дороге - друг за другом или в разные стороны. К таким задачам относится пример 1.
Пример 1. Из пункта А вышел товарный поезд. Спустя 3 ч вслед за ним в том же направлении вышел пассажирский поезд, скорость которого на 30 км/ч больше скорости товарного. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км. Определить скорость товарного поезда. Решение. Пусть скорость товарного поезда х км/ч, тогда скорость пассажирского поезда (х + 30) км/ч. В условии задачи сказано, что товарный поезд был в пути 18 ч, поэтому он проделал путь 18х км. Пассажирский поезд за 15 ч прошел 15(х + 30) км. Так как пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км, то мы получим следующее уравнение 15(х + зо) - 18х = зоо Решим его: Зх=150; х = 50. По смыслу задачи скорость должна быть числом положительным. Найденное значение удовлетворяет этому условию.
Так как пассажирский поезд проехал на 300 км больше товарного, то составим уравнение: 15(х + 30) - 18х = 300. Полученное уравнение имеет решение х = 50. О т в е т: 50 км/ч. Пример 2. Три тела движутся по прямой линии от точки А к точке В. Второе тело начало двигаться на 5 с, а третье на 8 с позже первого. Скорость первого тела меньше скорости второго на 6 м/с. Скорость третьего тела равна 30 см/с. Найдите расстояние АВ и скорость первого тела, если известно, что все три тела достигают точки В в один и тот же момент. Решение. Пусть расстояние АВ равно S, скорость второго телах см/с. Тогда скорость первого тела (х - 6) см/с, а скорость третьего тела 30 см/с. S S S Следовательно, — с, — с, — с — время, х-б х 30 затраченное соответственно первым, вторым, третьим телом на прохождение всего расстояния. Так как первое тело затратило на путь на 5 с больше, чем второе, а третье — на 8 с меньше, чем первое, то мы можем составить систему из двух уравнений:
Из условия задачи следует, что 6 < х < 30. Первое неравенство вытекает из того, что скорость второго тела на 6 см/с больше первого, но при значениях х, меньших 6, получим отрицательную
скорость, чего быть не может. В то же время, скорость второго тела должна быть меньше 30 см/с, так как третье тело (со скоростью 30 см/с) начало движение на 3 с позже второго, а достигли они точки В одновременно. Неравенству 6 < х < 30 удовлетворяют оба значения: х = 12 и х = 24. Если х=12, то х — 6 = 6 и S =60. Если х = 24, то х - 6 = 18 и S= 360. Ответ: 1) 6 см/с и 60 см; 2) 18 см/с и 360 см. Примечание. Решение этой задачи можно также оформить в таблице:
В дальнейшем мы будем записывать все решения именно так — в таблице. Кстати, у читателя может возникнуть вопрос: «Зачем проверять полученные значения на соответствие условию задачи, ведь уравнение мы составляем, исходя из данных условия». На вопрос можно ответить только утвердительно — «Да, конечно». Однако при составлении уравнения (или системы уравнений) мы можем не учесть все данные. И полученные значения переменной могут им не удовлетворять, как это происходит в следующей задаче. Так что проверка в конце решения никогда не бывает лишней! Пример 3. Из пункта А в пункт В одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому осталось пройти 15 км. Найдите расстояние между пунктами А и В. Решение. Пусть скорость первого пешехода х км/ч, скорость второго пешехода у км/ч, весь путь равен z км. Заполним две таблицы, охарактеризовав движение пешеходов.
больше 24 км. Итак, расстояние между пунктами равно 40 км. Ответ: 40 км. Пример 4. Два поезда, выйдя одновременно из разных городов, встретились через 20 часов. За какое время каждый из поездов проходит расстояние между этими городами, если одному из них требуется для этого на 9 часов больше, чем другому? Решение. Пусть скорость первого поезда х км/ч, скорость второго поезда у км/ч, весь путь равен z км. Составим две таблицы. Первая таблица характеризует движение поездов до места встречи: Таблица1
По условию задачи 20х + 20у = Z-Будем считать, что скорость первого поезда больше скорости второго (х > у). Заполним вторую таблицу, характеризующую прохождение расстояния между городами каждым поездом: Таблица 2
Составим второе уравнение на основании того, что второму поезду потребуется на 9 часов больше времени, чем первому:
Пример 5. Три пловца должны проплыть в бассейне дорожку длиной 50 м, немедленно повернуть назад и вернуться к месту старта. Сначала стартует первый, через 5 секунд — второй, еще через 5 секунд - третий. В некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, они оказались на
одном расстоянии от места старта. Третий пловец, доплыв до конца дорожки и повернув назад, встретил второго в 4 м от конца дорожки, и первого в 7 м от конца дорожки. Найдите скорость третьего пловца. Решение. На рисунке 1 точкой В обозначено место встречи всех пловцов (в задаче сказано, что в некоторый момент времени, еще не достигнув конца дорожки, они оказались на одном расстоянии от места старта); в точке D встречаются третий и второй пловцы; в точке С
Итак, в задаче требуется найти скорость одного из пловцов, поэтому может показаться, что будет удобно в качестве неизвестной рассматривать скорость третьего пловца. Поскольку в задаче нет явного указания на связи между скоростями трех пловцов, то, скорее всего, возникнет желание обозначить их скорости, например, буквами х, у, z, то есть ввести три переменные Далее можно перейти к составлению уравнений. Время, за которое третий пловец проплыл 54 м (проплыл 50 м, повернул и проплыл еще 4 м), на 5 с меньше времени, за которое второй проплыл 46 м, поэтому:
И последнее, из того, что в какой-то момент времени (причем до первого касания бортика пловцы встретились одновременно, можно сделать простой вывод: первый пловец затратил на пре одоление некоторого расстояния на 5 с больше второго, а второй — на 5 с больше третьего. Поскольку расстояния мы не знаем, то получаем еще одну переменную (например, s) и два уравнение
Итак, получили четыре уравнения с четырьмя переменными. Решив их, мы, безусловно, получим ответ, однако не самым легким путем. Попробуем ввести другие обозначения, а именно: обозначим буквой х расстояние, пройденное каждым пловцом до места их первой встречи, а буквой у— время, которое прошло до нее с момента старта первого пловца. Составим таблицу, по которой будет видно, какие неизвестные величины мы приняли за х и у, какое время плыли пловцы до места первой встречи и какова скорость каждого пловца Первая таблица характеризует движение пловцов от старта до места первой встречи
Заполним вторую таблицу, описывающую движение третьего и второго пловцов от старта до места их второй встречи в точке D.
Составим уравнение на основании того, что второй пловец стартовал на 5 секунд раньше третьего пловца: Заполним третью таблицу, характеризующую движение третьего и первого пловцов от старта до места их второй встречи в точке С. Таблица 3
Составим уравнение на основании того, что первый пловец стартовал на 10 секунд раньше третьего пловца:
янными скоростями. В тот момент времени, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был на расстоянии 9 км позади них. А в тот момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист обогнал пешехода на 3 км. Найти количество километров, на которые пешеход отстал от велосипедиста в тот момент, когда велосипедиста настиг мотоциклист
Р е ш е н и е. На рисунке 2 флажками отмечены встречи пешехода и велосипедиста, пешехода и мотоциклиста, мотоциклиста и велосипедиста. Итак, рассмотрим первую ситуацию: мотоциклист, догнав пешехода, тем самым ликвидировал свое отставание от него на 9 км в начальный момент движения (рис. 2.1 и 2.2). В этом случае время, за которое мотоциклист догнал пешехода, равно
Заполним первую таблицу.
Рассмотрим вторую ситуацию. На рисунке 2.2 между мотоциклистом и велосипедистом 3 км Тогда время, за которое мотоциклист догонит велосипедиста, равно
За это время и пешеход пройдет некоторое расстояние (табл. 2).
Задачи для самостоятельного решения 1. Из пункта А в одном и том же направлении вышли два лыжника, причем второй стартовал на 6 Ответ: 20 км/ч. 2. Два велосипедиста стартовали один за другим с интервалом в 2 мин, причем второй Ответ: 12 км/ч; 20 км/ч. 3. Два пловца на дистанции 100 метров стартовали один за другим с интервалом 1 с в момента поворота. Найти скорости пловцов. Ответ: 1,4 м/с; 1,5 м/с. 4. Школьник должен был выйти из дома в 7.30,сесть в ожидавшую его машину и доехать на нейдо школы к определенному моменту. Однако онвышел из дома в 7.00 и побежал в противоположном направлении. Машина в 7.30 отправилась вслед за ним и, нагнав его, доставила в школу с опозданием на 10 минут. Во сколько раз скорость машины превосходит скорость бегущего школьника? ........ .-.,..... Ответ: в 7 раз. 5. Расстояние между городами А и В равно24 км. Два пешехода выходят одновременно Ответ: 4 км/ч. 6. Расстояние между А и В равно 156 км.Из А в В выезжает велосипедист. Через 2 часа из В Ответ: 32 км/ч. 7. Две точки движутся по окружности длиной27 см с постоянными скоростями. Если они движутся Ответ: 0.018м/с; 0,012м/с. 8. Из пункта А в пункт В против течениявыехала моторная лодка. В пути сломался мотори Ответ: — ч. 16 9. Города А и В расположены на берегу реки, причем В расположен ниже по течению. В 9 ч утра из А в В отправляется плот, плывущий относительно берегов реки со скоростью течения реки. В тот же момент из В в А отправляется лодка, которая встречается с плотом через 5 часов. Доплыв до А, лодка мгновенно повернула обратно и приплыла в город В одновременно с плотом. Успели ли лодка и плот прибыть в город к 9 часам вечера того же дня? Ответ: нет. 10. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 секунды. Стоя на ступеньке движущегося эскалатора - за 56 секунд.За сколько секунд спустится пассажир, если онидет по неподвижному эскалатору? Ответ: за 42 с.
1.Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы 2.3000 конкурсных задач по математике М: Айрис-пресс 2003г З.Алгебра 9 класс. Учебник для 9 класса средней школы 4.2600 тестов и проверочных заданий по математике для школьников и поступающих в вузы - 1999г
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ. ИНФОРМАТИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ. Сайт сделан по технологии "Конструктор школьных сайтов". | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
